Question

【題目】已知雙曲線C的頂點(diǎn)在x軸上，兩頂點(diǎn)間的距離是8，離心率

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)P（3，0）且斜率為k的直線與雙曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值

Answer 1

【答案】（1）（2）或或或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用代定系數(shù)法求解即可；（2）把直線方程和曲線方程聯(lián)立得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，對二次項(xiàng)系數(shù)分類討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解

試題解析：（1）設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

∴2a=8，

所以a=4，c=5，b=3，

∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）直線方程為y=k（x﹣3）

由得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，

①9﹣16k2=0，即或時(shí)，直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

②9﹣16k2≠0，

∴△=（96k2）2+4×144（9﹣16k2）（k2+1）=0，

∴7k2﹣9=0，

∴或…（

綜上所述，或或或．