Question

已知f(x)=lg(x²－2x+m)，其中m∈R為常數(shù).

(1)求f(x)的定義域；

(2)證明f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

Answer 1

(1)解:由x²－2x+m＞0得(x－1)²＞1－m.

當(dāng)1－m＜0，即m＞1時(shí)，x∈R；

當(dāng)1－m≥0，即m≤1時(shí)，x＜1－或x＞1+.

故當(dāng)m＞1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?B>R.

當(dāng)m≤1時(shí)f(x)的定義域?yàn)?－∞，1－)∪(1+，+∞).

(2)證明:設(shè)A(x₀，f(x₀))為f(x)圖象上任意一點(diǎn)，

則A點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為A′(2－x₀，f(x₀)).

∵f(2－x₀)=lg［(2－x₀)²－2(2－x₀)+m］=lg(x₀²－2x₀+m)=f(x₀),

∴A′點(diǎn)也在f(x)圖象上.

由A點(diǎn)的任意性知f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.