Question

已知A、B是雙曲線C：

x2

4

-

y2

3

=1的左、右頂點(diǎn)，P是坐標(biāo)平面上異于A、B的一點(diǎn)，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為k₁，k₂．
求證：k₁k₂=

3

4

是P點(diǎn)在雙曲線C上的充分必要條件．

Answer 1

分析：從充分性、必要性兩方面進(jìn)行證明即可．

解答：證明：設(shè)P（x₀，y₀），易知A （-2，0），B （2，0）
（1）充分性：由k₁k₂=

3

4

知：

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

3

4

，
所以3x02-4y02=12，即

x02

4

-

y02

3

=1，
故點(diǎn)P在雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1上；
（2）必要性：因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，
所以

x02

4

-

y02

3

=1，故y02=

3

4

(x02-4)
由已知x₀≠±2，故k₁k₂=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=

3

4

綜上（1）（2）知k₁k₂=

3

4

是P點(diǎn)在雙曲線C上的充分必要條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查充要性的證明，需從充分性、必要性兩方面進(jìn)行證明．