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        1. 【題目】已知圓C:x2﹣(1+a)x+y2﹣ay+a=0(a∈R). (Ⅰ) 若a=1,求直線y=x被圓C所截得的弦長;
          (Ⅱ) 若a>1,如圖,圓C與x軸相交于兩點M,N(點M在點N的左側(cè)).過點M的動直線l與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點.問:是否存在實數(shù)a,使得對任意的直線l均有∠ANM=∠BNM?若存在,求出實數(shù)a的值,若不存在,請說明理由.

          【答案】解:(Ⅰ) 當a=1時,圓C:x2﹣2x+y2﹣y+1=0, 圓心C(1, ),半徑r= =
          圓心C(1, )到直線y=x的距離d= =
          ∴直線y=x被圓C所截得的弦長為:2 =
          (Ⅱ)令y=0,得x2﹣(1+a)x+a=0,即(x﹣1)(x﹣a)=0,解得x=1,或x=a,
          ∴M(1,0),N(a,0).
          假設(shè)存在實數(shù)a,當直線AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x﹣1),
          代入x2+y2=4得,(1+k2)x2﹣2k2x+k2﹣4=0,
          設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),從而 ,x1x2=
          ∵NA、NB的斜率之和為 + = ,
          而(x1﹣1)(x2﹣a)+(x2﹣1)(x1﹣a)
          =2x1x2﹣(a+1)(x2+x1)+2a= +2a=
          ∵∠ANM=∠BNM,所以,NA、NB的斜率互為相反數(shù), =0,即 =0,得a=4.
          當直線AB與x軸垂直時,仍然滿足∠ANM=∠BNM,即NA、NB的斜率互為相反數(shù).
          綜上,存在a=4,使得∠ANM=∠BNM
          【解析】(Ⅰ)當a=1時,求出圓心C(1, ),半徑r= ,求出圓心C到直線y=x的距離,由此利用勾股定理能求出直線y=x被圓C所截得的弦長.(Ⅱ)先求出所以M(1,0),N(a,0),假設(shè)存在實數(shù)a,當直線AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x﹣1),代入x2+y2=4,利用韋達定理,根據(jù)NA、NB的斜率之和等于零求得a的值.經(jīng)過檢驗,當直線AB與x軸垂直時,這個a值仍然滿足∠ANM=∠BNM,從而得出結(jié)論.

          練習冊系列答案
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