Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=x2﹣ax+b，其圖象對(duì)稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為﹣1，設(shè)f（x）= ．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)g（x）=x2﹣ax+b，其圖象對(duì)稱軸為直線x=2，

∴ =2，

解得：a=4，

當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值b﹣4=﹣1，

解得：b=3

（2）解：由（1）得：g（x）=x2﹣4x+3，

f（x）=x﹣4+

若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，

則t≤ 在x∈[﹣2，2]上恒成立，

當(dāng)3x= ，即x=log32﹣1時(shí)， 取最小值﹣ ，

故t≤﹣

（3）解：令t=|2x﹣2|，t≥0，

則原方程可化為：t+ ﹣4+ ﹣3k=0，

即t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0，

若關(guān)于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

則方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有兩個(gè)根，

其中一個(gè)在區(qū)間（0，2）上，一個(gè)在區(qū)間[2，+∞），

令h（t）=t2﹣（4+3k）t+（3+2k），

則 ，

即 ，

解得：k∈[﹣ ，+∞）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)g（x）=x2﹣ax+b，其圖象對(duì)稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為﹣1，可得實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，t≤ 在x∈[﹣2，2]上恒成立，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有兩個(gè)根，其中一個(gè)在區(qū)間（0，2）上，一個(gè)在區(qū)間[2，+∞），進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．