Question

【題目】霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài)，PM2.5被認(rèn)為是造成霧霾天氣的“元兇”，PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好．國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的PM2.5日均值（微克/立方米）與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	0﹣﹣35	35﹣﹣75	75﹣﹣115	115﹣﹣150	150﹣﹣250	250以上
空氣質(zhì)量等級(jí)	1級(jí) 優(yōu)	2級(jí) 良	3級(jí) 輕度污染	4級(jí) 中度污染	5級(jí) 重度污染	6級(jí) 嚴(yán)重污染

由某市城市環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)獲得4月份某5天甲、乙兩城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示，如圖所示．

（1）試根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出兩城區(qū)的PM2.5日均值的中位數(shù)，并從中位數(shù)角度判斷哪個(gè)城區(qū)的空氣質(zhì)量較好？
（2）考慮用頻率估計(jì)概率的方法，試根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)甲城區(qū)某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為3
（3）分別從甲、乙兩個(gè)城區(qū)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩城區(qū)空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：甲城市5天數(shù)據(jù)由小到大排列：

59，83，87，95，116，

乙城市5天數(shù)據(jù)由小到大排列：

66，68，85，88，98，

∴甲的中位數(shù)是87，乙的中位數(shù)是85，

∴乙城市的空氣質(zhì)量較好．

（2）

解：根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為3級(jí)輕度污染的頻率為 ，

則估計(jì)甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3級(jí)輕度污染的概率為 ．

（3）

解：設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級(jí)相同，

由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，分別記為：

（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）

（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）

（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）

（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98）

（116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98），

其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的包括同為2級(jí)良的為甲59，乙66，乙68；

同為3級(jí)輕度污染的為甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；則空氣質(zhì)量等級(jí)相同的為：

（59，66），（59，68），

（83，85），（83，88），（83，98），

（87，85），（87，88），（87，98），

（95，85），（95，88），（95，98），

共11個(gè)結(jié)果．

所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率為

【解析】（1）由莖葉圖可知甲乙兩個(gè)城市5天數(shù)據(jù)由小到大排列，求出中位數(shù)，比較兩個(gè)中位數(shù)的大小可得哪個(gè)城市的空氣質(zhì)量較好；（2）由莖葉圖可知在抽取的五天中，甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為3級(jí)輕度污染的頻數(shù)為3，進(jìn)而得到頻率，進(jìn)而估算出概率；（3）從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，共有25種不同情況，統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的情況個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式可得答案
【考點(diǎn)精析】掌握莖葉圖是解答本題的根本，需要知道莖葉圖又稱(chēng)“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少．