Question

已知向量

m

=（sinx，1），

n

=（

3

Acosx，

A

2

cos2x）（A＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

最大值為4．
（1）求A；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，再將所的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的表達式，利用兩角和與差的三角函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)，利用最值即可求A；
（2）利用平移變換將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，再將所的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，得到函數(shù)的解析式，然后求g（x）在[0，

5π

24

]上的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=

3

Asinxcosx+

A

2

cos2x=Asin(2x+

π

6

)．
∵函數(shù)f（x）=

m

•

n

最大值為4．
∴A=4
（2）函數(shù)f（x）=4sin(2x+

π

6

)，圖象向右平移

π

6

個單位，得到f（x）=4sin(2x-

π

6

)，再將所的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，得到函數(shù)的解析式g（x）=4sin(4x-

π

6

)，
∵x∈[0，

5π

24

]，∴4x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴g（x）∈[-2，4]．

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的化簡與圖象的平移變換，正弦函數(shù)的值域，考查計算能力．