Question

已知向量

a

=（2sinx，sinx-cosx），

b

=（cosx，

3

（cosx+sinx）），函數(shù)f（x）=

a

•

b

+1
（1）當(dāng)x∈（

π

4

，

π

2

）時，求f（x）的值域；并求其對稱中心．
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若將f（x）向左平移

π

4

個單位，且b=5，f（

B

2

）=3，求△ABC面積最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，從而可求當(dāng)x∈（

π

4

，

π

2

）時，f（x）的值域及其對稱中心；
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=f（x+

π

4

）=2sin（2x+

π

6

）+1，結(jié)合f（

B

2

）=3，可求得B=

π

3

，利用余弦定理與基本不等式可求得ac≤25，從而可求得△ABC面積最大值．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1…2分
∵

π

4

＜x＜

π

2

，∴

π

2

＜2x＜π，∴

π

6

＜2x-

π

3

＜

2π

3

，…3分
∴

1

2

＜sin（2x-

π

3

）≤1，∴2＜2sin（2x-

π

3

）+1≤3，
∴f（x）的值域為（2，3]…5分
由2x-

π

3

=kπ（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴其對稱中心為（

kπ

2

+

π

6

，1）…6分
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，將f（x）向左平移

π

4

個單位后得：
g（x）=f（x+

π

4

）=2sin[2（x+

π

4

）-

π

3

]+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵f（

B

2

）=3，
∴2sin（B+

π

6

）+1=3…8分
∴sin（B+

π

6

）=1，B=

π

3

，又b=5，
據(jù)余弦定理得25=b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥ac，
∴ac≤25，
∴S_△ABC=

3

4

ac≤

25 3

4

…12分

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查正弦定理與余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．