Question

先將函數f（x）=cos（2x+

3π

2

）的圖象上所有的點都向右平移

π

12

個單位，再把所有的點的橫坐標都伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的解析式和單調遞減區(qū)間；
（2）若A為三角形的內角，且g（A）=

1

3

，求f（

A

2

）的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的單調性,余弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）依題意，易求g（x）=sin（x-

π

6

），利用正弦函數的單調性可求得函數g（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）由（1）知，g（A）=sin（A-

π

6

）=

1

3

，易知0＜A-

π

6

＜

π

2

，于是得cos（A-

π

6

）=

2 2

3

，f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]，利用兩角和的正弦即可求得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos（2x+

3π

2

）=sin2x，
∴依題意，有g（x）=sin（x-

π

6

），
由

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ得：

2π

3

+2kπ≤x≤

5π

3

+2kπ，k∈Z．
∴g（x）=sin（x-

π

6

），且它的單調遞減區(qū)間為[

2π

3

+2kπ，

5π

3

+2kπ]k∈Z．
（2）由（1）知，g（A）=sin（A-

π

6

）=

1

3

，
∵0＜A＜π，
∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，又0＜sin（A-

π

6

）＜

1

2

，
∴0＜A-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（A-

π

6

）=

2 2

3

，
∴f（

A

2

）=sinA=sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=

1

3

×

3

2

+

2 2

3

×

1

2

=

2 2 + 3

6

．

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數的單調性，考查誘導公式與兩角和的正弦，考查轉化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．