Question

已知長(zhǎng)方體中，底面為正方形，面，，，點(diǎn)在棱上，且．

（Ⅰ）試在棱上確定一點(diǎn)，使得直線平面，并證明；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)，且，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的軌跡，并探求長(zhǎng)度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧，且長(zhǎng)度的最小值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面，或者可以以平面為已知條件出發(fā)，利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到，進(jìn)而確定點(diǎn)的位置；（Ⅱ）先確定四邊形的形狀以及各邊的長(zhǎng)度，然后再根據(jù)以及點(diǎn)為定點(diǎn)這一條件確定點(diǎn)的軌跡，在計(jì)算的過(guò)程中，可以利用平面以及從而得到平面，于是得到，進(jìn)而可以由勾股定理，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)取到最小值時(shí)，取到最小值.

試題解析：（Ⅰ）取的四等分點(diǎn)，使得，則有平面. 證明如下：   1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image026.png">且，

所以四邊形為平行四邊形，則，   2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image030.png">平面，平面，所以平面．   4分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image032.png">,所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓�。�      6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092500204928342465/SYS201309250022151207317350_DA.files/image033.png">，面，所以面，       7分

故．      8分

所以當(dāng)的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，的長(zhǎng)度最小，此時(shí)點(diǎn)為線段和四分之一圓弧的交點(diǎn)，      10分

即，

所以．

即長(zhǎng)度的最小值為．      12分

考點(diǎn)：直線與平面平行、勾股定理、點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值