Question

【題目】已知是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列， ， ， ， .

（1）求， 的通項公式；

（2）的前項和為，求證： .

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列， ， ， ， 列出關(guān)于公比、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列， 的通項公式；（2）由（1）可知，根據(jù)錯位相減法結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得的前項和為，利用放縮法可得結(jié)論.

試題解析：（1）設(shè)公差為， 公比為，

由題意得： ，

解得，或（舍），

∴， .

（2） ，

，

相減得： ，

∴，∴.

【 方法點睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項以及錯位相減法求數(shù)列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達式.