Question

【題目】如圖， 是邊長(zhǎng)為的菱形， ， 平面， 平面， .

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，結(jié)合，可得平面，垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行，故四點(diǎn)共面，故.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， 的方向?yàn)?/span>軸， 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角公式求得線面角的正弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接，

因?yàn)?/span>是菱形，所以.

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以.

所以， ， ， 四點(diǎn)共面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， 的方向?yàn)?/span>軸， 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

可以求得， ， ， ， .

所以， .

設(shè)平面的法向量為，

則即

不妨取，則平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)?/span>，

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.