Question

（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范圍；
（2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x∈[1，2]）的反函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)用對數(shù)函數(shù)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可；
（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和反函數(shù)知識進(jìn)行求解．

解答：解：（1）f（1-2x）-f（x）=lg（1-2x+1）-lg（x+1）=lg（2-2x）-lg（x+1），
要使函數(shù)有意義，則
由

2-2x＞0 x+1＞0

解得：-1＜x＜1．
由0＜lg（2-2x）-lg（x+1）=lg

2-2x

x+1

＜1得：1＜

2-2x

x+1

＜10，
∵x+1＞0，∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴-

2

3

＜ x＜

1

3

．
由

-1＜x＜1 - 2 3 ＜x＜ 1 3

得：-

2

3

＜x＜

1

3

．
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2-x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x-2）=g（2-x）=f（2-x）=lg（3-x），
由單調(diào)性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3-10^y，
∴所求反函數(shù)是y=3-10^x，x∈[0，lg2]．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算以及反函數(shù)與原函數(shù)的定義域和值域相反等知識，屬于易錯題．