Question

設(shè)向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=

a

•（

a

+

b

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f（x）≥

3

2

成立的x的取值集．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意和向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算，求出解析式并利用倍角公式以及平方關(guān)系進(jìn)行化簡，由正弦函數(shù)的性質(zhì)和T=

2π

|ω|

，求出最大值、最小正周期；
（Ⅱ）代入解析式進(jìn)行化簡成關(guān)于正弦函數(shù)的不等式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=

a

•（

a

+

b

）=

a

•

a

+

a

•

b

=sin²x+cos²x+sinxcosx+cos²x
=1+

1

2

sin2x+

1

2

(cos2x+1)=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）的最大值為

3

2

+

2

2

，最小正周期是

2π

2

=π．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f(x)≥

3

2

，即

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

，sin(2x+

π

4

)≥0，
∴2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π
解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
即f(x)≥

3

2

成立的x的取值集合是{x|kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z}．

點評：本題主要考查了利用正弦函數(shù)的性質(zhì)來求解，需要利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運算、倍角公式以及平方關(guān)系對解析式進(jìn)行化簡，利用整體思想求解有關(guān)正弦函數(shù)的不等式．