Question

已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）恒成立，設(shè)向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：由f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立得其對(duì)稱軸，結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)可得其單調(diào)性
通過計(jì)算

a

•

b

，

c

•

d

，從而確定它們所在的單調(diào)區(qū)間，由此解得x的范圍．

解答：解：設(shè)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為m，m≠0，
設(shè)其圖象上兩點(diǎn)為（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因?yàn)?span id="tzsfqcd" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

(1-x)+(1+x)

2

=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
若m＞0，則x≥1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，若m＜0，則x≥1時(shí)，f（x）是減函數(shù)．
∵

a

•

b

=（sinx，2）•（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①當(dāng)m＞0時(shí)，f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3

2

π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3

4

π．
②當(dāng)m＜0時(shí)，同理可得0≤x＜

π

4

＜或

3

4

π＜x≤π．
綜上：f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集是：
當(dāng)m＞0時(shí)，為{x|

π

4

＜x＜

3

4

π}；
當(dāng)m＜0時(shí)，為{x|0≤x＜

π

4

，或

3

4

π＜x≤π}．

點(diǎn)評(píng)：本題是個(gè)中檔題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換，解三角不等式．注意分類討論的思想的應(yīng)用．