Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=

1 |x-2 ，x≠2 1，x=2

，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法中正確的是

④

①a+b=0；②x₁+x₃＞2x₂；③x₁+x₃=5；④．x₁²+x₂²+x₃²=14．

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于方程：f（x）=某個(gè)常數(shù)，有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即解分別是1，2，3．從而問題解決．

解答：解：作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．
故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
即解分別是1，2，3．
故x₁²+x₂²+x₃²=1²+2²+3²=14．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)的圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．