Question

已知數(shù)列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

…

1

(3n-2)×(3n+1)

，計(jì)算s₁，s₂，s₃，s₄，猜想s_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性．

Answer 1

分析：（1）S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．
（2）由（1）猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)Sk=

k

3k+1

，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立．

解答：解：S1=

1

1•4

=

1

4

，S2=

1

1•4

+

1

4•7

=

2

7

S3=

1

1•4

+

1

4•7

+

1

7•10

=

3

10

，S4=

1

1•4

+

1

4•7

+

1

7•10

+

1

10•13

=

4

13

----------（4分）
猜想：Sn=

n

3n+1

----------------------------（6分）
證明：（1）當(dāng)n=1 時(shí)，由上面計(jì)算知結(jié)論正確．
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即Sk=

k

3k+1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)

Sk+1=Sk+ 1 (3k+1)(3k+4) = k 3k+1 + 1 (3k+1)(3k+4) = 3k2+4k+1 (3k+1)(3k+4) = (3k+1)(k+1) (3k+1)(3k+4) = k+1 3k+4 = k+1 3(k+1)+1

即n=k+1時(shí)等式成立
由（1），（2）知，等式對(duì)任意正整數(shù)都成立-------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，證明n=k+1時(shí)，是解題的難點(diǎn)．