Question

橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，其離心率e=,過點(diǎn)C（-1，0）的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)C分向量的比為2.

（1）用直線l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積；

（2）當(dāng)△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程.

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓E的方程為+=1,(a＞b＞0),由e==得，a²=3b².

    故橢圓方程為x²+3y²=3b².

    設(shè)A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）.由于點(diǎn)C（-1，0）分向量的比為2，

∴

    由(3k²+1)x²+6k²x+3k²-3b²=0.

    由直線l與橢圓E相交于A（x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點(diǎn)得：

    而S_△OAB=|y₁-y₂|=|-2y₂-y₂|=|y₂|=|k(x₂+1)|,    ①

    由=-1和x₁+x₂=得x₂+1=,把其代入①得：

S_△OAB=(k≠0).

（2）因S_△OAB==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)k=±時，S_△OAB取得最大值，此時x₁+x₂=-1.

    又∵ =1,∴x₂=-3,x₁=1,將x₁=1,x₂=-3,k=±代入x₁x₂=,

    得3b²=5.

∴橢圓方程為x²+3y²=5.