【題目】已知圓柱
底面半徑為1，高為
，ABCD是圓柱的一個軸截面，動點M從點B出發(fā)沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線
如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸
逆時針旋轉
后，邊
與曲線
相交于點P．
(Ⅰ)求曲線
長度；
(Ⅱ)當
時，求點
到平面APB的距離；
(Ⅲ)證明：不存在
，使得二面角
的大小為
．
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ) 不存在
【解析】試題分析：(Ⅰ)在側面展開圖中根據(jù)幾何性質求解；(Ⅱ) 建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABP的一個法向量及向量
，利用空間向量點到直線距離公式求解；(Ⅲ)假設存在滿足要求的
，在空間坐標系中求出法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，列出關于
的方程，看是否有解即可.
試題解析：(Ⅰ) 
在側面展開圖中為BD的長，其中AB = AD = π，
∴
的長為
;
(Ⅱ)當
時，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則有
、
、
、
，
、
、
設平面ABP的法向量為
，則
，
取z = 2得
，所以點C1到平面PAB的距離為
；
注：本題也可以使用等積法求解．
(Ⅲ) 假設存在滿足要求的
，
在（II）的坐標系中， 
，
，
設平面ABP的法向量為
，則
，
取x1 = 1得
，
又平面ABD的法向量為
，
由二面角
的大小為
，
則
．
∵
，∴
時，均有
，與上式矛盾．
所以不存在
使得二面角
的大小為
．
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【題目】如圖， 
是平行四邊行， 
平面
, 
// 
, 
， 
， 
．
（1）證明： 
//平面
；
（2）求證：平面
平面
；
（3）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（4）求二面角
的平面角的正切值．
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【題目】若圓
上有四個不同的點到直線
的距離為2，則
的取值范圍是( )
A. (－12，8) B. (－8，12) C. (－13，17) D. (－17，13)
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【題目】如圖，四棱錐
的底面
是平行四邊形，側面
是邊長為2的正三角形， 
, 
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）設
是棱
上的點，當
平面
時，求二面角
的余弦值.
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【題目】已知∠A1,∠A2,…,∠An為凸多邊形的內(nèi)角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An=0,則這個多邊形是( )
A. 正六邊形 B. 梯形
C. 矩形 D. 含銳角的菱形
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【題目】已知函數(shù)
，其中
， 
， 
是自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）討論
的單調(diào)性；
（Ⅱ）設函數(shù)
，證明： 
.
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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，移動支付（又稱手機支付）越來越普通，某學校興趣小組為了了解移動支付在大眾中的熟知度，對15-65歲的人群隨機抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是“你會使用移動支付嗎？”其中，回答“會”的共有
個人.把這個人按照年齡分成5組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中，第一組的頻數(shù)為20.
（1）求 和
的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；
（2）從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第1，3，4組抽取的人數(shù)；
（3）在（2）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.
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