Question

直線y=kx與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右兩支都有交點的充要條件是k∈（-1，1），且該雙曲線與直線y=

1

2

x-

3

2

相交所得弦長為

4 15

3

，則該雙曲線方程為

 

．

Answer 1

分析：直線y=kx與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右兩支都有交點的充要條件是k∈（-1，1），可得

b

a

=1．設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=m．與直線方程聯(lián)立，利用弦長公式即可得出m．

解答：解：∵直線y=kx與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右兩支都有交點的充要條件是k∈（-1，1），
∴

b

a

=1．
設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=m．
聯(lián)立

x-2y-3=0 x2-y2=m

，化為3y²+12y+9-m=0．
∵直線與雙曲線有兩個交點，∴△=12²-12（9-m）＞0，解得m＞-3．
∴y₁+y₂=-4，y1y2=3-

m

3

．
∴

(1+4)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

5[42-4×(3- m 3 )]

=

4 15

3

，
化為m=1．滿足△＞0．
因此雙曲線的方程為：x²-y²=1．
故答案為：x²-y²=1．

點評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．