Question

已知曲線C：f(x)=

1

3

x3+

4

3

，
（1）求曲線在點(diǎn)（2，4）處的切線方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線的方程即可；
（2）設(shè)出曲線過(guò)點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫(xiě)出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可．

解答：解：（1）∵P（2，4）在曲線 y=

1

3

x³+

4

3

上，且y'=x²
∴在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）設(shè)曲線 y=

1

3

x³+

4

3

與過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A（x₀，

1

3

x

3 0

+

4

3

），
則切線的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切線方程為y-（

1

3

x

3 0

+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

，
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-

2

3

x

3 0

+

4

3

，
即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．