Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.直線(xiàn)l：y＝kx＋m與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，又l與直線(xiàn)， 分別交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，且△OAB的面積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：

（1）由離心率及可得，于是可得橢圓的方程．（2）結(jié)合題意逐步求解，先求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，并根據(jù)點(diǎn)的位置得到；然后根據(jù)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系可得，于是．由△OAB的面積為2計(jì)算可得，最后根據(jù)數(shù)量積的定義將用表示，并可得到所求范圍．

試題解析：

(1)∵離心率e＝， ，

∴＝＝，解得a2＝2，

∴橢圓的方程為＋y2＝1．

(2)由可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，

由可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第二象限，

∴即

∴m2(1－4k2)>0，

又m2≥0，

∴1－4k2>0.

∵|AB|＝＝，

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即△OAB底邊AB上的高為，

∴S△OAB＝·· ＝ ＝ 2，

∴m2＝1－4k2.

由消去y整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

∵直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝48k2>0，解得k2>0．

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則x1＋x2＝－，x1·x2＝，

∴y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，

∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－7.

∵0<k2<，

∴1＋2k2∈，

∴∈，

∴·∈.

故的取值范圍為.