Question

把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個(gè)相同的四邊形（如圖陰影部分）后，用剩余部分做成一個(gè)無蓋的正三棱柱形容器（不計(jì)接縫），設(shè)容器的高為x，容積為V（x）．
（1）寫出函數(shù)V（x）的解析式，并求出函數(shù)的定義域；
（2）求當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大？并求出最大容積．

Answer 1

解：（1）因?yàn)槿萜鞯母邽閤，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為（1分）．
則（4分）
函數(shù)的定義域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3414.png' />（5分）
（2）實(shí)際問題歸結(jié)為求函數(shù)V（x）在區(qū)間上的最大值點(diǎn)．先求V（x）的極值點(diǎn)．
在開區(qū)間內(nèi)，（7分）
令V′（x）=0，即令，解得．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/527511.png' />在區(qū)間內(nèi)，x₁可能是極值點(diǎn)．當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，V′（x）＞0；
當(dāng)時(shí)，V′（x）＜0．（9分）
因此x₁是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間內(nèi)，x₁是唯一的極值點(diǎn)，
所以是V（x）的最大值點(diǎn)，并且最大值
即當(dāng)正三棱柱形容器高為時(shí)，容器的容積最大為4．
分析：（1）由已知中容器的高為x，正三棱柱形容器的底邊長為，我們計(jì)算出棱柱的底面面積代入棱柱體積公式，即可求出函數(shù)V（x）的解析式，并根據(jù)高和底面邊長均為正和，可以得到函數(shù)的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我們求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當(dāng)x為多少時(shí)，容器的容積最大，代入即可得到最大容積．
點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，其中解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知求出棱柱的底面面積和高，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，建立數(shù)學(xué)模型．