Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，．

（1）求證：B1C⊥AB；

（2）若∠CBB1＝60°，AC＝BC，且點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O，求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)．

【解析】

(1)由側(cè)面BB1C1C為菱形，得B1C⊥BO，再由AC＝AB1，O為B1C的中點(diǎn)，得B1C⊥AO，利用直線(xiàn)與平面垂直的判定可得B1C⊥平面ABO，從而得到B1C⊥AB；

(2)點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O，即AO⊥平面BB1C1C，由(1)知OB⊥OB1，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OB，OB1，OA所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別求出平面BAA1 的一個(gè)法向量與平面ACA1的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣AA1﹣C的余弦值．

(1)證明：∵側(cè)面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BO，又AC＝AB1，O為B1C的中點(diǎn)，∴B1C⊥AO，

而AO∩BO＝O，∴B1C⊥平面ABO，得B1C⊥AB；

(2)解：∵點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點(diǎn)O，即AO⊥平面BB1C1C，又由（1）知OB⊥OB1，

∴以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以OB，OB1，OA所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵∠CBB1＝60°，AC＝BC，

設(shè)BC＝2a，則，，，，

，，．

設(shè)平面BAA1 的一個(gè)法向量為，

由，取z1＝1，得；

設(shè)平面ACA1的一個(gè)法向量為，

由，取，得．

∴．由圖可知，二面角B﹣AA1﹣C為銳角，

∴二面角B﹣AA1﹣C的余弦值為．