Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若且，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）.

【解析】

（1）根據(jù)，，利用勾股定理得到，再由，利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明.

（2）由，，易得，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作軸垂直于，再結(jié)合（1）以，所在直線(xiàn)為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則由求解.

（1）因?yàn)?/span>，，

所以，

所以.

又，且，平面，平面，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>，，

所以，

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作軸垂直于，又由（1）知平面，

分別以，所在直線(xiàn)為，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，，.

因?yàn)?/span>，

所以.

所以，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

取得.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，

則.

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.