Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|. 設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F,求EDF的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） .(II) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由得,由橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為,得,求得橢圓的方程為；（Ⅱ）由,解得,確定,,

結(jié)合的單調(diào)性求的最小值.

試題解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，

又當(dāng)時(shí)， ，得，

所以，

因此橢圓方程為.

（Ⅱ）設(shè)，

聯(lián)立方程，

得，

由得.（*）

且，

因此，

所以，

又，

所以

整理得 ，

因?yàn)?/span>，

所以.

令，

故，

所以 .

令，所以.

當(dāng)時(shí)， ,

從而在上單調(diào)遞增，

因此，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，

所以，

由（*）得 且.

故，

設(shè)，

則 ，

所以的最小值為，

從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率是.

綜上所述：當(dāng)， 時(shí)， 取到最小值.