Question

【題目】設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記 ，

其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．

（Ⅰ）若， ，求的值，并證明是等差數(shù)列；

（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時， ；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當(dāng)時， ，所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以，從而得證；（Ⅱ）首先求的通項公式，分三種情況討論證明.

試題解析：（Ⅰ）

，

.

當(dāng)時， ，

所以關(guān)于單調(diào)遞減.

所以.

所以對任意，于是，

所以是等差數(shù)列.

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則

.

所以

①當(dāng)時，取正整數(shù)，則當(dāng)時， ，因此.

此時， 是等差數(shù)列.

②當(dāng)時，對任意，

此時， 是等差數(shù)列.

③當(dāng)時，

當(dāng)時，有.

所以

對任意正數(shù)，取正整數(shù)，

故當(dāng)時， .