Question

【題目】已知不等式對一切都成立，則的最小值是（ ）

A. B. C. D. 1

Answer 1

【答案】C

【解析】令，則

若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數(shù)遞增，無最值．

若a＞0，由y′=0得：x=，

當﹣1＜x＜時，y′＞0，函數(shù)遞增；

當x＞時，y′＜0，函數(shù)遞減．

則x=處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2，

∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，

∴b≥﹣lna+a﹣2，

∴≥1﹣﹣，

令t=1﹣﹣，

∴t′=，

∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0，

∴a=e﹣1，tmin=1﹣e．

∴的最小值為1﹣e．

點晴:本題主要考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題. 解決這類問題的一種方法法是：通過變量分離將含參函數(shù)的問題轉化為不含參的確定函數(shù)的最值問題，本題中a≤0時，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數(shù)遞增，無最值．a＞0時x=處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2≤0，可得b≥﹣lna+a﹣2，于是≥1﹣﹣，令t=1﹣﹣，然后利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調性、極值和最值，可得的最小值.