Question

【題目】已知函數(shù) ，其中 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）若函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）已知函數(shù) ，且 ，若函數(shù) 在區(qū)間 上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，
當(dāng)函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增時(shí)， 在區(qū)間 上恒成立，
∴ （其中 ），解得 ；
當(dāng)函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)遞減時(shí)， 在區(qū)間 上恒成立，
∴ （其中 ），解得 ．
故答案為：實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
（2）解： ．
由 ，知 在區(qū)間 內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為 ，則 在區(qū)間 內(nèi)不單調(diào)，
所以 在區(qū)間 內(nèi)存在零點(diǎn) ，
同理， 在區(qū)間 內(nèi)存在零點(diǎn) ，
所以 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．
由（1）知，當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，故 在區(qū)間 內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．
當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
故 在 內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
所以 ．
令 ，得 ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增．
記 的兩個(gè)零點(diǎn)為 ， （ ），
因此 ， ，必有 ， ．
由 ，得 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ．
故答案為：實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．
【解析】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒非正或恒非負(fù),轉(zhuǎn)化為恒成立問題.
（2）明顯函數(shù)已有一個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值得到再有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)參數(shù)的范圍.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．