Question

【題目】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中， = ．作D′E⊥AC，垂足為E，D′E= = ．CO= ，CE= = = ，∴EO=CO﹣CE= ．
過(guò)點(diǎn)B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于點(diǎn)F，則EF⊥AC．連接D′F．∠FBD′為直線AC與BD′所成的角．
則四邊形BOEF為矩形，∴BF=EO= ．EF=BO= = ．則∠FED′為二面角D′﹣CA﹣B的平面角，設(shè)為θ．
則D′F2= + ﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1時(shí)取等號(hào)．∴D′B的最小值= =2．∴直線AC與BD′所成角的余弦的最大值= = = ．所以答案是： ．

【考點(diǎn)精析】掌握異面直線及其所成的角是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．