Question

（本小題滿分12分）已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，點是弦的中點．
（Ⅰ）若，求點的軌跡方程；
（Ⅱ）求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）點的軌跡方程為（．（Ⅱ）．

本試題主要是考查了圓錐曲線中軌跡方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合而運用，研究線段的比值問題。
（1）根據(jù)題意點的直線與橢圓交于不同的兩點、，點是弦的中點，且，設(shè)點的坐標(biāo)，利用直線與橢圓相交得到A,B點坐標(biāo)關(guān)系式，從而的得到軌跡方程
（2）利用直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到弦長公式，表示出線段比值。
解（Ⅰ）①若直線∥軸，則點為； ②設(shè)直線，并設(shè)點的坐標(biāo)分別是
，由消去，得 ， ①
由直線與橢圓有兩個不同的交點，可得，即，所以．
由及方程①，得，
，
即由于（否則，直線與橢圓無公共點），將上方程組兩式相除得，，
代入到方程，得，整理，得（．
綜上所述，點的軌跡方程為（．
（Ⅱ）①當(dāng)∥軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點，則點在原點處，所以，，所以，； ②由方程①，得
所以，，
，
所以． 因為，所以，所以，
所以．綜上所述，．