Question

已知數(shù)列{a_n} 是一個首項(xiàng)為a₁，公比q＞0 的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，記T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

Answer 1

分析：分q=1、0＜q＜1、q＞1三種情況，分別求出S_n和T_n ，再根據(jù)數(shù)列極限的運(yùn)算法則求出

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

解答：解：當(dāng)q=1 時，S_n=na₁，T_n=（2n-1）a₁，（2分）

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

na1

(2n-1)a1

=

lim

n→∞

n

(2n-1)

=

1

2

．（1分）
當(dāng)q＞0，q≠1 時，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，Tn=

a1(1-q2n-1)

1-q

，（1分）
∵

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

 

1-qn

1-q2n-1

，
當(dāng) 0＜q＜1時，

lim

n→∞

qⁿ=0，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1-0

1-0

=1．
當(dāng) q＞1時，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1-qn

1-q2n-1

=

lim

n→∞

1 q2n-1 -  1 qn-1

1 q2n-1 - 1

=

0-0

0-1

=0．（2分）
綜上：

lim

n→∞

Sn

Tn

=

1 2 ，  q=1 1 ，   1＞q＞0 0 ，  q＞1

．（1分）

點(diǎn)評：本題主要考查求數(shù)列極限的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．