Question

【題目】已知圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上．
（1）求圓C的方程．
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，3）與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圓心在直線y=2x上，

故可設(shè)圓心C（a，2a），半徑為r．

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．

∵圓C經(jīng)過A（3，2）、B（1，6），

∴ ．

解得a=2，r= ．

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．

（2）解：由（1）知，圓C的圓心為C（2，4），半徑r= ．

直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，3），

①若直線斜率不存在，

則直線l：x=﹣1．

圓心C（2，4）到直線l的距離為

d=3＜r= ，故直線與圓相交，不符合題意．

②若直線斜率存在，設(shè)斜率為k，

則直線l：y﹣3=k（x+1），

即kx﹣y+k+3=0．

圓心C（2，4）到直線l的距離為

d= = ．

∵直線與圓相切，

∴d=r，即 = ．

∴（3k﹣1）2=5+5k2，

解得k=2或k=- ．

∴直線l的方程為2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．

【解析】（1）根據(jù)已知設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程．（2）根據(jù)已知設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．