Question

已知函數(shù),，其中R.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；
（3）設函數(shù),當時，若，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;（2）;（3）.

試題分析：（1）先對求導，由于的正負與參數(shù)有關，故要對分類討論來研究單調(diào)性; （2）先由在其定義域內(nèi)為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在不等式中求參數(shù)范圍的問題，利用分離參數(shù)法和基本不等式的知識求出參數(shù)的取值范圍;（3）先通過導數(shù)研究在的最值，然后根據(jù)命題“若，，總有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，從而列出不等式組求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析：解：（1）的定義域為，且，       1分
①當時，，在上單調(diào)遞增；       2分
②當時，由，得；由，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.    4分
（2），的定義域為
              5分
因為在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，

而，當且僅當時取等號，所以           8分
（3）當時，，
由得或
當時，；當時，.
所以在上，       10分
而“，，總有成立”等價于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值為
所以有                  12分

所以實數(shù)的取值范圍是        14分