Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線C于，兩點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；

（Ⅱ）過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，過點(diǎn)B作EF的垂線，交拋物線于另一點(diǎn)D，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.

【解析】

（Ⅰ）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出方程，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求的值；

（Ⅱ）先求出直線的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離求出的高，表示出的面積，結(jié)合基本不等式可得最小值.

（Ⅰ）由題意知，設(shè)直線AB的方程為，

聯(lián)立消去x得．

由根與系數(shù)的關(guān)系得．當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）設(shè)，，則，

由（Ⅰ）知，所以．

因?yàn)?/span>，，所以．

所以直線BD的方程為，即．

聯(lián)立方程組得消去x得，

所以，．

，

所以．

設(shè)點(diǎn)A到BD的距離為d，則．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最小值為16．