Question

【題目】已知各項為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足
（Ⅰ）求證：{an}為等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設 ，求證： ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵滿足 ，
當n=1時，a1=2．
當n≥2時，
由（1）﹣（2）得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0（an＞0）
則an﹣an﹣1=4，∴{an}是以4為公差的等差數列．an=4n﹣2．
（Ⅱ）證明：

設 ，則f（n+1）﹣f（n）＜0
所以，{f（n）}遞減，
即： ．
【解析】（1）利用數列遞推關系、等差數列的通項公式即可得出．（2）通過放縮，利用數列的單調性即可證明．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．