【題目】正三角形
的邊長(zhǎng)為
，將它沿高
折疊，使點(diǎn)
與點(diǎn)
間的距離為
，則四面體
外接球的表面積為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】B
【解析】
四面體
的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可．
根據(jù)題意可知四面體的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，
三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC
，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圓的半徑為
1
由題意可得：球心到底面的距離為
，
∴球的半徑為r
．
外接球的表面積為：4πr2＝7π
故選：B．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】根據(jù)指令
（
，
），機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作，先原地旋轉(zhuǎn)弧度
（為正時(shí)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，為負(fù)時(shí)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)），再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離r；
（1）現(xiàn)機(jī)器人在平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對(duì)x軸正方向，試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)
；
（2）機(jī)器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)
處有一小球，正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng)，已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問(wèn)機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令？（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
.
（1）若
在
上單調(diào)遞增，求
的取值范圍；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)
，
，
，證明：（i）
；（ii）
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的漸近線方程為
，一個(gè)焦點(diǎn)為
．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)雙曲線上的任意一點(diǎn)
，分別作這兩條漸近線的平行線與這兩條漸近線得到四邊形
，證明四邊形的面積是一個(gè)定值；
（3）設(shè)直線
與
在第一象限內(nèi)與漸近線
所圍成的三角形
繞著
軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，
為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)
的直線與橢圓交于
兩點(diǎn)，且
的周長(zhǎng)為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，且在
軸上的正投影為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
作直線
分別交橢圓于
兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，試問(wèn)：直線
的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出其定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知兩直線方程
與
，點(diǎn)
在
上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)
在
上運(yùn)動(dòng)，且線段
的長(zhǎng)為定值
.
（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)
的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線
與點(diǎn)的軌跡相交于
，
兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
，求原點(diǎn)的直線
的距離的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
與燒開一壺水所用時(shí)間
的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點(diǎn)圖（如下圖）.
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表中
，
.
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，
與
哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說(shuō)明理由）
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（3）若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量
與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為
，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的方程為
，圓
與
軸相切于點(diǎn)
，與
軸正半軸相交于
、
兩點(diǎn)，且
，如圖1.
（1）求圓的方程；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)的直線
與橢圓相交于
、
兩點(diǎn)，求證：射線
平分
；
（3）如圖2所示，點(diǎn)
、
是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且第三象限的動(dòng)點(diǎn)
在橢圓上，若直線
與軸交于點(diǎn)
，直線
與軸交于點(diǎn)
，試問(wèn)：四邊形
的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖所示多面體
，其底面
為矩形且
，四邊形
為平行四邊形，點(diǎn)
在底面內(nèi)的投影恰好是
的中點(diǎn).
（1）已知
為線段
的中點(diǎn)，證明：
平面
；
（2）若二面角
大小為
，求直線
與平面所成角的正弦值.
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