Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，證明函數(shù)只有一個零點；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）當時，，其定義域是 又

                    …………2分

 令，即，解得或． ，

∴  ． 當時，；當時，．

∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

 ∴ 當x =1時，函數(shù)取得最大值，其值為．

當時，，即．

 ∴ 函數(shù)只有一個零點．                    ……………………6分

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域為

∴    ……7分

①當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……8分

②當時，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，

解得或

綜上，實數(shù)的取值范圍是      …………12分