Question

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，是AC的中點(diǎn)，已知，．
（1）求證：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）證明線面垂直，要證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，首先是圓的直徑，因此有，而分別是的中點(diǎn)，因此有，從而，再看已知條件，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，即點(diǎn)，即平面，從而有，因此有平面；（2）棱錐的體積，就是的體積，而棱錐的高就是，底面是，又是弧的中點(diǎn)，因此有，從而有，，底面積、體積均可求．
（1）∵VA=VB，O為AB中點(diǎn)，∴．
連接，在和中，,
∴≌DVOC ，∴=ÐVOC=90°， ∴
∵, 平面ABC, 平面ABC, ∴VO⊥平面ABC．
∵平面ABC，∴．
又∵，是的中點(diǎn)，∴．
∵VOÌ平面VOD，VDÌ平面VOD，，∴ AC平面DOV．
（2）由（2）知是棱錐的高，且．
又∵點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴，且，
∴三角形的面積，             
∴棱錐的體積為
故棱錐的體積為．                12分