Question

已知二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

) n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．
（I）求展開式的第四項(xiàng)；
（II）求展開式的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：首先展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，寫出三個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系，求出n的值，
（1）在一個(gè)二項(xiàng)式中，寫出二項(xiàng)式的第四項(xiàng)，注意二項(xiàng)式所包含的兩部分結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心．
（2）根據(jù)前面寫出的二項(xiàng)式的形式，寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，根據(jù)要求的是常數(shù)項(xiàng)，只要使得變量x的指數(shù)等于0，做出r的值即可求得常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：因?yàn)榈谝�、二、三�?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值分別為C_n⁰，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∴

C

n 0

+

1

4

C

n 2

= 2×

1

2

C

n 1

∴n²-9n+8=0
解得n=8…．（4分）
（I）第四項(xiàng)T4=

C

3 8

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7x

2

3

…．（7分）
（II）通項(xiàng)公式為Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4…．（10分）
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題看出二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件，算出二項(xiàng)式的指數(shù)，為后面的解題做準(zhǔn)備．