Question

如圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且.
（1）求的長；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）連結(jié)、,因?yàn)槭橇庑?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/78/6/ulcac3.png" style="vertical-align:middle;" />的中心，,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件寫出的坐標(biāo)，并設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理列方程解出的值得到的長；.
（2）設(shè)平面的法向量為，平面PMC的法向量為，首先利用向量的數(shù)量積列方程求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求出，進(jìn)而求出二面角的正弦值.
解：

（1）如圖，連結(jié)，因為菱形，則，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
因，故
所以
由知，
從而，即
設(shè)，則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/17/4/9iupp.png" style="vertical-align:middle;" />，
故即，所以（舍去），即.
（2）由（1）知，,
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為
由得故可取
由得故可取
從而法向量的夾角的余弦值為
故所求二面角的正弦值為.
考點(diǎn)：1、空間直線與平面垂直的性質(zhì)；2、空間直角坐標(biāo)系；3、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用.