Question

已知雙曲線3x²-y²=3,直線l過(guò)右焦點(diǎn)F₂,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),試問(wèn)A、B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長(zhǎng).

Answer 1

分析:由題意,直線l的方程已定,欲判斷直線l與雙曲線的兩交點(diǎn)A、B是否位于同一支上,需判斷A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積x₁·x₂的符號(hào).至于求弦長(zhǎng)|AB|,只需用公式|AB|=1+k²·|x₁-x₂|來(lái)計(jì)算.

解:a=1,b=,c=2,e=2.

∵直線l過(guò)點(diǎn)F₂且傾斜角為45°,

∴直線l的方程為y=x-2,代入雙曲線方程,得2x²+4x-7=0.

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

∵x₁·x₂=-＜0,

∴A、B兩點(diǎn)分別位于雙曲線的左、右兩支上.

∵x₁+x₂=-2,x₁·x₂=-,

∴|AB|=|x₁-x₂|=

綠色通道：

在運(yùn)用雙曲線第二定義計(jì)算焦點(diǎn)弦(即過(guò)焦點(diǎn)的弦)長(zhǎng)時(shí),需要判斷弦的兩個(gè)端點(diǎn)是落在雙曲線的同一支還是兩支上,若在同一支上,則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等于兩焦半徑之差的絕對(duì)值.