Question

雙曲線(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線l過(guò)點(diǎn)（a,0）和(0,b)，且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離之和s≥c.求雙曲線的離心率e的取值范圍.

Answer 1

解：直線l的方程為+=1，即bx+ay-ab=0.?

由點(diǎn)到直線的距離公式，且a＞1，得到點(diǎn)（1，0）到直線l的距離d₁=.?

同理得到點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離：?

d₂=,s=d₁+d₂=.?

由,得,?

即.于是得,?

即4e⁴-25e²+25≤0.?

解不等式，得.?

由于e＞1＞0,?

所以e的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)構(gòu)造法來(lái)求離心率的取值范圍，考查了不等式的數(shù)學(xué)思想.本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)，以及同學(xué)們的綜合運(yùn)算能力.