Question

（本小題滿分1４分）如圖，為等腰直角的直角頂點(diǎn)，、都垂直于所在的平面，

（1）求二面角的大小；

（2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）問線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面且若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）     （2）

解析:

（1）作于，平面平面

則向量與所成的角即為二面角的大小.

由計(jì)算得故

∴由面積求得，由射影定理可求得.

而則

故，故二面角的大小為

（2）平面，平面，

故A、C、D、E四點(diǎn)共面.  且平面平面

作于,則有平面

，

∴   ∴由故由得即到平面的距離是.

（3）假設(shè)線段BE上存在點(diǎn)，使，平面.

平面，平面.又，平面  又（F不與B重合），故平面，則

而由計(jì)算得:故這與矛盾,故上不存在,使（或平面，，而過空間一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直）

向量法：過作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.

（1）設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，

 故  

同理：平面的一個(gè)法向量為，則 

二面角的大小為

（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量為，而，

故D到平面的距離是

（3）若上存在使平面，顯然此時(shí)故

（上式也可用向量共線與共面定理得到F點(diǎn)的坐標(biāo)）∴，故與不垂直，故在上不存在符合題意的點(diǎn)。