Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，，，， ，為的中點(diǎn).

（1）平面平面

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由四邊形為矩形，所以，再由勾股定理，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得到平面平面.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，又由平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解，得到結(jié)論.

（1）證明：由題意知，四邊形為矩形，所以，

又∵四邊形為菱形，為中點(diǎn)，

所以，，，所以，所以，

又，所以平面，又平面，

所以平面平面

（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，在上取一點(diǎn)，

連接，.

由于四邊形是菱形，且，是的中點(diǎn)，可得.

又四邊形是矩形，平面平面，∴平面，

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則，，，，

則，，設(shè)平面的法向量為，

則，∴，令，則，

又平面的法向量，

所以，解得，

所以在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，此時.