Question

如圖，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中點(diǎn)，求證：①DE=DA;②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.

Answer 1

證明：①取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF.

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵EF=CE=DB,DF=BC=AB,

∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故DE=AD.

②取AC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，則MNCF.

∵BD，∴MNBD，∴N∈平面BDM.

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.

又∵AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.

又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.

③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.

又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.

點(diǎn)評(píng)：本題涉及線面垂直、面面垂直的性質(zhì)和判定，這里證明的關(guān)鍵是BN⊥平面ECA，在這里應(yīng)充分體會(huì)線線垂直、線面垂直與面面垂直的關(guān)系.