Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2

3

，D是棱AC之中點，∠C₁DC=60°．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角D-BC₁-C的大小；
（3）求點B₁到平面BC₁D的距離．

Answer 1

分析：取A₁C₁之中點為D₁，連接點DD₁，分別以DB，AC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）求出平面BC₁D的一個法向量

n

，，通過

n

⊥

A B1

來證明AB₁∥平面BC₁D；
（2）分別求出平面BC₁D，平面BCC₁的一個法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角C₁-AB-C的大小．
（3）點B₁平面BC₁D的距離等于

BB1

在平面BC₁D的法向量方向上投影的絕對值．

解答：解：如圖，取A₁C₁之中點為D₁，連接點DD₁，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，則有AC，BD，DD₁兩兩互相垂直，分別以DB，AC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間右手直角坐標(biāo)系．∵∠C1DC=600，AC=2

3

，且D為AC之中點，CC₁⊥AC，所以側(cè)棱CC₁=3，則所需各點的坐標(biāo)分別為：D（0，0，0），A(0，-

3

，0)，B(3，0，0)，B1(3，0，3)，C(0，

3

，0)，C1(0，

3

，3)
（1）設(shè)平面BC₁D的法向量為

n

=(x，y，z)，又

DB

=(3，0，0)，

DC1

=(0，

3

，3)，
則由

n • DB =3x=0 n • DC1 = 3 y+3z=0

，取

n

=(0，-

3

，1)，又

AB1

=(3，

3

，3)
∵

n

•

AB1

=0即

n

⊥

AB1

，又AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）由（1）知平面BC₁D的法向量

n

=(0，-

3

，1)（向外），設(shè)平面BCC₁的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
又

BC

=(-3，

3

，0)，

CC1

=(0，0，3)，
由

m • BC =-3x1+ 3 y1=0 m • CC1 =3z1=0

，取

m

=(-1，-

3

，0)（向內(nèi)）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

4

，所以二面角D-BC₁-C的平面角的大小arccos

3

4

（3）由（1）知平面BC₁D的法向量

n

=(0，-

3

，1)，又

BB1

=(0，0，3)，則點B₁平面BC₁D的距離為d=|

BB1 • n

| n |

|=

3

2

點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．