Question

已知定點(diǎn)，,是圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是

A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．圓

Answer 1

B

試題分析：由N是圓O：x²+y²=1上任意一點(diǎn)，可得ON=1，且N為MF₁的中點(diǎn)可求MF₂，結(jié)合已知由垂直平分線的性質(zhì)可得PM=PF₁，從而可得|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2為定值，由雙曲線的定義可得點(diǎn)P得軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線解：連接ON，由題意可得ON=1，且N為MF₁的中點(diǎn)∴MF₂=2，∵點(diǎn)F₁關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F₁M的中垂線與直線F₂M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得PM=PF₁，∴|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂，由雙曲線的定義可得點(diǎn)P得軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線，故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查了利用雙曲線的定義判斷圓錐曲線的類型的問題，解決本題的關(guān)鍵是由N為圓上一點(diǎn)可得ON=1，結(jié)合N為MF₁的中點(diǎn)，由三角形中位線的性質(zhì)可得MF₂=2，還要靈活應(yīng)用垂直平分線的性質(zhì)得到解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂，從而根據(jù)圓錐曲線的定義可求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．