Question

已知a_n=2n-1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b_n=

1

Sn

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：對(duì)一切自然數(shù)n，恒有T_n＜2．

Answer 1

分析：根據(jù)a_n的通項(xiàng)公式求出S_n的通項(xiàng)公式，最后得到b_n的通項(xiàng)以及前n項(xiàng)和T_n的通項(xiàng)，然后利用

1

n2

＜

1

n(n-1)

，(n≥2)．得到T_n＜2．

解答：解：根據(jù)a_n=2n-1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b_n=

1

Sn

可知，當(dāng)n=1時(shí)，b₁=

1

S1

=

1

a1

=1；n=2時(shí)，b₂=

1

S2

=

1

a1+a2

=

1

4

；
當(dāng)n=3時(shí)，b₃=

1

S3

=

1

a1+a2+a3

=

1

9

，…，b_n=

1

Sn

=

1

a1+a2+…+an

=

1

n2

；
因?yàn)?span id="uercore" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

n2

＜

1

n(n-1)

，(n≥2)
所以T_n=1+

1

2×2

+

1

3×3

+…+

1

n•n

＜1+

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)條件找出數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，會(huì)根據(jù)變換不等式的方法證明不等式．