Question

【題目】如圖所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．

（1）證明：BE⊥CD′；
（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD=2，AB=1，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，

∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．

又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D'EC，

又CD'面D'EC，∴BE⊥CD'

（2）解：法一：設(shè)M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC垂足為F，

連接D'M，D'F，則D'M⊥EC，

∵平面D'EC⊥平面BEC，

∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，

∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，

∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．

在Rt△D'MF中，D'M= ， ，

∴ ，

∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值為 ．

法二：分別以EB，EC所在的直線為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系．

則 ， ， ，

．

設(shè)平面BEC的法向量為 ，

平面D'BC的法向量為 ，

則 ，取x2=1，得 =（1，1，1），

cos＜ ＞= = ，

∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值為

【解析】（1）由已知得BE⊥EC．從而BE⊥面D'EC，由此能證明BE⊥CD'．（2）法一：設(shè)M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC垂足為F，則∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分別以EB，EC所在的直線為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點才能正確解答此題．